题目
题型:湖南省模拟题难度:来源:
(1)试判断f(x)的单调性,并说明理由;
(2)若恒成立,求实数k的取值范围;
(3)求证:[(n+1)!]2>(n+1)e n﹣2,(n∈N*).
答案
(1)解:求导函数,可得=
∵x≥1,∴lnx≥0,∴f "(x)≤0,
∴函数f(x)在[1,+∞)上单调减 ∴函数f(x)的单调减区间是[1,+∞).
(2)解:不等式,即为,
记,
所以,
令h(x)=x﹣lnx,
则,
∵x≥1,∴h"(x)≥0.
∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴[h(x)]min=h(1)=1>0,从而g"(x)>0
故g(x)在[1,+∞)上也单调递增,
∴[g(x)]min=g(1)=2,
所以k≤2
(3)证明:由(2)知:恒成立,即,
令x=n(n+1),则,
所以,,,…,.
叠加得:ln[1×22×32×…×n2×(n+1)]=
则1×22×32×…×n2×(n+1)>e n﹣2,
所以 [(n+1)!]2>(n+1)e n﹣2,(n∈N*).
核心考点
试题【已知函数(1)试判断f(x)的单调性,并说明理由;(2)若恒成立,求实数k的取值范围;(3)求证:[(n+1)!]2>(n+1)e n﹣2,(n∈N*).】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;
(3)在(2)的条件下,证明:
.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)设F(x)=ax2+f"(x)(a∈R),讨论函数F(x)的单调性;
(3)斜率为k的直线与曲线y=f"(x)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)两点,求证:.
(1)若,求证:数列是等比数列;
(2)在(1)条件下,求证:;
(3)若a=0,试问代数式的值在哪两个相邻的整数之间?并加以证明.
(1)若a=f"(2),b=f"(1),c=f"(0),求a、b、c的值;
(2)在(1)的条件下,记,
求证:F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<N*);
(3)设关于x的方程f"(x)=0的两个实数根为α、β,且1<α<β<2.
试问:是否存在正整数n0,使得?说明理由.
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