题目

题型：不详难度：来源：

下列命题中，正确命题的个数是（　　）
①命题“∃x∈R，使得x³+1＜0”的否定是““∀x∈R，都有x³+1＞0”．
②双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且

AB

•

BF

=0，则此双曲线的离心率为

5 +1

2

．
③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A-C）=1，则a、c、b成等比数列．
④已知

a

，

b

是夹角为120°的单位向量，则向量λ

a

+

b

与

a

-2

b

垂直的充要条件是λ=

5

4

．

A．1 个

B．2 个

C．3 个

D．4 个

答案

①命题“∃x∈R，使得x³+1＜0”的否定是““∃x₀∈R，使得x03+1≥0”，故①错误；
②，依题意，F（c，0），A（-a，0），∵点B（0，b），
∴

AB

=（a，b），

BF

=（c，-b），
∵

AB

•

BF

=0，
∴ac-b²=0，而b²=c²-a²，
∴c²-ac-a²=0，两端同除以a²得：e²-e-1=0，
解得e=

5 +1

2

或e=

1- 5

2

（舍去），
故②正确；
③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，
∴cosB=-cos（A+C），
∴原式化为：cos2B-cos（A+C）+cos（A-C）=1，
∴cos（A-C）-cos（A+C）=1-cos2B，
∵cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC，1-cos2B=2sin²B，
∴sinAsinC=sin²B，
由正弦定理得：b²=ac，故③a、c、b成等比数列错误；
④，∵

a

，

b

是夹角为120°的单位向量，
∴（λ

a

+

b

）⊥（

a

-2

b

）⇔（λ

a

+

b

）•（

a

-2

b

）=0⇔λ

a

2-2

b

2+（1-2λ）

a

•

b

=0⇔λ-2+（1-2λ）×1×1×（-

1

2

）=0⇔2λ-2-

1

2

=0，
∴λ=

5

4

．故④正确；
综上所述，正确命题的个数是2个．
故选B．