题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

x2

12

+

y2

4

=1，一个顶点为A（0，2）
（1）若将椭圆C绕点P（1，2）旋转180°得到椭圆D，求椭圆D方程
（2）若椭圆C与直线y=kx+m （k≠0）相交于不同的M、N两点，且|AM|=|AN|，
求m的取值范围．

答案

（1）由题意得，椭圆C的对称中心（0，0）关于点P（1，2）的对称点为（2，4），且对称轴平行于坐标轴，
长轴、短轴的长度不变，故将椭圆C绕点P（1，2）旋转180°得到椭圆D的方程为

(x-2)2

12

+

(y-4)2

4

=1．
（2） 设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），∵|AM|=|AN|，∴A在线段MN的中垂线上．
 把M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），代入椭圆C：

x2

12

+

y2

4

=1的方程得：

x12

12

+

y12

4

=1，①

x22

12

+

y22

4

=1  ②，用①减去②得：

(x1-x2)(x1+x2)

12

=

(y1-y2)(y1+y2)

-4

，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

1

3

×

x1+x2

y1+y2

，再由中垂线的性质得

-1

k

=

y1+y2 2 -2

x1+x2 2 -0

=

y1+y2-4

x1+x2

，
∴

3(y1+y2)

x1+x2

=

y1+y2-4

x1+x2

，∴y₁+y₂=-2，∴x₁+x₂=-3k（y₁+y₂）=-6k，
故MN的中点（-3k，-1），
把y=kx+m代入椭圆C：

x2

12

+

y2

4

=1得，（1+3k²）x²+6kmx+3m²-12=0，
∴x₁+x₂=-6k=

-6km

1+3k2

，∴m=1+3k²，∴mx²+6kmx+3m²-12=0，
由题意知，判别式大于0，即 36k²m²-4m（3m²-12）＞0，
36×

m-1

3

×m²-12m³+48m＞0，m（m-4）＜0，∴0＜m＜4，
故 m的取值范围为 （0，4）．