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题目
题型:海淀区二模难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,


2
2
)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知点Q(
5
4
,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:


QA


QB
为定值.
答案
(Ⅰ)由题意知:c=1.
根据椭圆的定义得:2a=


(-1-1)2+(


2
2
)
2
+


2
2
,解得a=


2

所以 b2=2-1=1.
所以椭圆C的标准方程为
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)证明:当直线l的斜率为0时,A(


2
,0),B(-


2
,0)

则 


QA


QB
=(


2
-
5
4
,0)•(-


2
-
5
4
,0)=-
7
16

当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).





x2
2
+y2=1
x=ty+1
,可得:(t2+2)y2+2ty-1=0.
显然△>0,则





y1+y2=-
2t
t2+2
y1y2=-
1
t2+2
.

因为x1=ty1+1,x2=ty2+1,
所以


QA


QB
=(x1-
5
4
y1)•(x2-
5
4
y2)=(ty1-
1
4
)(ty2-
1
4
)+y1y2

=(t2+1)y1y2-
1
4
t(y1+y2)+
1
16

=-(t2+1)
1
t2+2
+
1
4
t
2t
t2+2
+
1
16

=
-2t2-2+t2
2(t2+2)
+
1
16
=-
7
16
,即 


QA


QB
=-
7
16

综上,


QA


QB
=-
7
16
,即


QA


QB
为定值.
核心考点
试题【已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,22)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)已知点Q(54,0),动直】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的长轴长是4,离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程.
题型:房山区二模难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xOy中,点E到两点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为2


2
,设点E的轨迹为曲线C.
(1)写出C的方程;
(2)设过点F2(1,0)的斜率为k(k≠0)的直线l与曲线C交于不同的两点M,N,点P在y轴上,且|PM|=|PN|,求点P纵坐标的取值范围.
题型:朝阳区二模难度:| 查看答案
椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为(  )
题型:不详难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
题型:南充三模难度:| 查看答案
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A.B.
C.D.
中心在原点的椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心,离心率为
1
2

(1)求椭圆E的方程;
(2)椭圆E上是否存在一点P,使得过P点的两条斜率之积
1
2
的两条直线l1l2
,与圆C相切?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
已知椭圆的中心在坐标原点,离心率为
1
2
,一个焦点是F(0,1).
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)直线l过点F交椭圆于A、B两点,且


AF
=2


FB
,求直线l的方程.