题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

3

，点P (

3 5

5

，-2)在此椭圆上，经过椭圆的左焦点F，斜率为K的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）当K=1时，求S_△AOB的值．

答案

（Ⅰ）由题意，

c a = 2 3 3 5 a2 + 4 b2 =1 a2=b2+c2

，所以a=3，b=

5

，所以椭圆Γ的方程为

x2

9

+

y2

5

=1；
（Ⅱ）∵K=1，F（-2，0），∴设直线方程为y=x+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程组

y=x+2 x2 9 + y2 5 =1

，整理得14x²+36x-9=0，x1+x2=-

18

7

，x1x2=-

9

14

，
∴|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

30

7

，
设O点到直线AB的距离为d，则d=

|0-0+2|

2

=

2

．
∴S△AOB=

1

2

d•|AB|=

1

2

×

2

×

30

7

=

15 2

7

．