题目
题型:辽宁一模难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
a2+b2 |
2 |
3 |
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点.求证:l1⊥l2.
答案
2 |
3 |
所以椭圆的方程为
x2 |
3 |
准圆的方程为x2+y2=4.
(2)①当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,
因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=
3 |
3 |
当l1方程为x=
3 |
3 |
3 |
此时经过点(
3 |
3 |
即l2为y=1(或y=-1),显然直线l1,l2垂直;
同理可证l1方程为x=-
3 |
②当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中x02+y02=4,
设经过点P(x0,y0),与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,
则
|
即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0,△=[6t(y0-tx0)]2-4•(1+3t2)[3(y0-tx0)2-3]=0,
经过化简得到:(3-x02)t2+2x0y0t+1-y02=0,因为x02+y02=4,所以有(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0,
设l1,l2的斜率分别为t1,t2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,
所以t1,t2满足上述方程(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0,
所以t1•t2=-1,即l1,l2垂直.
核心考点
试题【给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(2,0),其短轴上的一个端点到】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
| ||
2 |
y2 |
4 |
(1)求椭圆C1的方程;
(2)直线y=x+m与椭圆C1交于A,B两点,与双曲线C2两条渐近线交于P,Q两点,且P,Q在A,B之间,使|AP|,|PQ|,|QB|成等差数列,求m的值.
3 |
| ||
3 |
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,点M是椭圆上异于A1,A2的任意一点,设直线MA1,MA2的斜率分别为kMA1,kMA2,证明kMA1•kMA2为定值.