题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其中a=b2，离心率e=

2

2

．
（I）求椭圆方程；
（II）若椭圆上动点P（x，y）到定点A（m，0）（m＞0）的距离|AP|的最小值为1，求实数m的值．

答案

解（I）由题得

a=b2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，
解得：a=2，b=

2

，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）由方程

x2

4

+

y2

2

=1知-2≤x≤2，y2=2-

x2

2

．
而|AP|=

(x-m)2+y2

，
∴|AP|2=(x-m)2+2-

x2

2

=

1

2

(x-2m)2-m2+2．
令f(x)=

1

2

(x-2m)2-m2+2，-2≤x≤2由题意得：f(x)min=1，又m＞0，
则①当0＜2m≤2，即0＜m≤1时，f(x)min=f(2m)=2-m2=1，解得m=1（m=-1舍去）；
②当2m＞2，即m＞1时，f(x)min=f(2)=(2-m)2=1，解得m=3（m=1舍去）；
综上，m=1或m=3．