题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：x2+y2+

3

x-3y-6=0过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=

2π

3

时，证明：点P在一定圆上．
（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不为0，求证：k_QB•k_QC为定植．

答案

（1）∵圆x2+y2+

3

x-3y-6=0与x轴交点坐标为A(-2

3

，0)，F2(

3

，0)，
∴a=2

3

，c=

3

，∴b=3，
∴椭圆方程是：

x2

12

+

y2

9

=1．…（4分）
（2）证明：设点P（x，y），因为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
所以kPF1=tanβ=

y

x+ 3

，kPF2=tanα=

y

x- 3

，
因为β-α=

2π

3

，所以tan（β-α）=-

3

．
因为tan（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanαtanβ

=

-2 3 y

x2+y2-3

，所以

-2 3 y

x2+y2-3

=-

3

，
化简得x²+y²-2y=3，所以点P在定圆x²+y²-2y=3上．…（10分）
（3）证明：设B（m，n），Q（x′，y′），则C（-m，-n）
∴k_QB•k_QC=

n-y′

m-x′

•

-n-y′

-m-x′

=

n2-y′2

m2-x′2

∵

m2

12

+

n2

9

=1，

x′2

12

+

y′2

9

=1
∴两式相减可得

m2-x′2

12

+

n2-y′2

9

=0
∴

n2-y′2

m2-x′2

=-

3

4

∴k_QB•k_QC=-

3

4

…（12分）