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题目
题型:丰台区二模难度:来源:
已知椭圆C的长轴长为2


2
,一个焦点的坐标为(1,0).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l:y=kx与椭圆C交于A,B两点,点P为椭圆的右顶点.
①若直线l斜率k=1,求△ABP的面积;
②若直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1•k2为定值.
答案
(1)依题意椭圆的焦点在x轴上,且c=1,2a=2


2
,…(1分)
a=


2
,b2=a2-c2=1.                                     …(2分)
∴椭圆C的标准方程为
x2
2
+y2=1
.                                   …(4分)
(2)①





x2+2y2=2
y=x
…(5分)





x=


6
3
y=


6
3
或 





x=-


6
3
y=-


6
3
,…(7分)
A(


6
3


6
3
)
B(-


6
3
,-


6
3
)
P(


2
,0)

所以S△ABP=
1
2


2
2


6
3
=
2


3
3
.                                     …(9分)
②证明:设A(x1,y1),B(x2,y2).
椭圆的右顶点为P(


2
,0)

联立方程





x2+2y2=2
y=kx
,消y整理得 (2k2+1)x2=2,
不妨设x1>0>x2
x1=


2
2k2+1
x2=-


2
2k2+1
y1=k


2
2k2+1
y2=-k


2
2k2+1
.…(12分)kAPkBP=
y1
x1-


2
y2
x2-


2
=
y1y2
x1x2-


2
(x1+x2)+2
…(13分)=
-k2
2
2k2+1
2-
2
2k2+1
=
-2k2
-2+4k2+2
=-
1
2

∴kAP•kBP为定值-
1
2
.                             …(14分)
核心考点
试题【已知椭圆C的长轴长为22,一个焦点的坐标为(1,0).(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:y=kx与椭圆C交于A,B两点,点P为椭圆的右顶点.①若直线l斜】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,左焦点为F1(-3,0),右准线方程为x=
25
3

(1)求椭圆的标准方程和离心率e;
(2)设P为椭圆上第一象限的点,F2为右焦点,若△PF1F2为直角三角形,求△PF1F2的面积.
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过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2-36=0有相同焦点的椭圆方程是(  )
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A.B.
C.D.
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,且直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点S (0, -
1
2
)
且斜率为1的直线l交椭圆C于M、N两点,求|MN|的值.
选修4-4:坐标系与参数方程
椭圆中心在原点,焦点在x轴上.离心率为
1
2
,点P(x,y)是椭圆上的一个动点,若2x+


3
y
的最大值为10,求椭圆的标准方程.
已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为


2
2
.斜率为k(k≠0)的直线ℓ过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m),且当k=1时,下焦点到直线ℓ的距离为


2

(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围.