已知椭圆C中心为坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为221，离心率为12（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同两点P，Q，且OP⊥OQ， - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C中心为坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2

，离心率为

（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同两点P，Q，且OP⊥OQ，求点O到直线l的距离．

答案

（1）设椭圆C的方程为

=1(a＞b＞0)．
由题意可得

2b=2

a2=b2+c2

，解得

a2=28

，
∴椭圆C的方程为

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m

，消去y得到（3+4k²）x²+8kmx+4m²-84=0．
∵△＞0，∴64k²m²-16（3+4k²）（m²-21）=0，化为m²=21+28k²．（*）
∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-84

3+4k2

．（**）
∵OP⊥OQ，∴

•

=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m），
∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．
把（**）代入可得

(1+k2)(4m2-84)

3+4k2

-8k2m2

3+4k2

+m2=0．
化为m²=12+12k²=12（1+k²），∴

|m|

1+k2

．
∴点O到直线l的距离d=

|m|

1+k2

．

核心考点

试题【已知椭圆C中心为坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为221，离心率为12（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同两点P，Q，且OP⊥OQ，】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

设θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=

，则方程x²sinθ-y²cosθ=1表示的曲线是（　　）

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热门考点

A．焦点在x轴上的双曲线

B．焦点在x轴上的椭圆

C．焦点在y轴上的双曲线

D．焦点在y轴上的椭圆

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的一个焦点是F(-

，0)，且离心率e=

（1）求椭圆C方程；
（2）（8分）过点A（0，-2）且不与y轴垂直的直线l与椭圆C相交于不同的两点P，Q，若

所对应的M点恰好落在椭圆上，求直线l的方程．

已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2，右焦点为F，直线l：x=2与x轴相交于点E，

，过点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C和点D在l上，且AD∥BC∥x轴．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）求证：直线AC经过线段EF的中点．

已知圆P：x²+y²-2y-3=0，抛物线C以圆心P为焦点，以坐标原点为顶点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A，过A作抛物线C的切线与y轴的交点为Q，动点M到P、Q两点距离之和等于6，求M的轨迹方程．

设F₁，F₂分别是椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆上一点P(1，

)到F₁，F₂两点距离之和等于4．
（Ⅰ）求此椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(

，0)，求k的取值范围．