题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点是F(-

3

，0)，且离心率e=

3

2

（1）求椭圆C方程；
（2）（8分）过点A（0，-2）且不与y轴垂直的直线l与椭圆C相交于不同的两点P，Q，若

OM

=

OP

+

OQ

所对应的M点恰好落在椭圆上，求直线l的方程．

答案

（1）由题图得c=

3

，将c=

3

代入

c

a

=

3

2

得a=2，
所以b2=a2-c2=22-(

3

)2=1；所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线l的方程为y=kx-2，联立得

y=kx-2 x2 4 +y2=1

，
得（1+4k²）x²-16kx+12=0，因为x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

所以

OM

=

OP

+

OQ

=(x1，y1)+(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)=(

16k

1+4k2

，-

4

1+4k2

)
从而有(

16k

1+4k2

)2+(

4

1+4k2

)2=4，所以16k⁴-56k²-15=0，所以k=±

15

2

所以直线l的方程为y=±

15

2

x-2