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题目
题型:不详难度:来源:
已知圆P:x2+y2-2y-3=0,抛物线C以圆心P为焦点,以坐标原点为顶点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,过A作抛物线C的切线与y轴的交点为Q,动点M到P、Q两点距离之和等于6,求M的轨迹方程.
答案
(1)圆x2+y2-2y-3=0化为标准方程:x2+(y-1)2=4
∴圆的圆心P(0,1)…(1分),
设抛物线C:x2=2py…(2分),
∵抛物线C以圆心P为焦点,
p
2
=1
…(3分),
∴p=2
∴所求抛物线的方程为x2=4y…(4分).
(2)由方程组





x2+y2-2y-3=0
x2=4y
可得y=1…(5分),
依题意,圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,∴A(2,1)…(6分),
抛物线C即函数y=
1
4
x2
的图象,当x=2时,切线的斜率k=y′=
1
2
x=1
…(8分),
∴切线为y-1=1×(x-2),即x-y-1=0…(9分),
∴x=0时,y=-1,所以Q(0,-1)…(10分).
∵动点M到P、Q两点距离之和等于6
∴M的轨迹是焦点在y轴的椭圆,
设它的方程为
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)
…(12分),
则2a=|MP|+|MQ|=6,2c=|PQ|=2…(13分),
∴a=3,b2=a2-c2=8,
∴M的轨迹方程为
x2
8
+
y2
9
=1
…(14分).
核心考点
试题【已知圆P:x2+y2-2y-3=0,抛物线C以圆心P为焦点,以坐标原点为顶点.(1)求抛物线C的方程;(2)设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,过A作抛物线C】;主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]
举一反三
设F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,且椭圆上一点P(1,
3
2
)
到F1,F2两点距离之和等于4.
(Ⅰ)求此椭圆方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过定点G(
1
8
,0)
,求k的取值范围.
题型:攀枝花三模难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


2
2
,且曲线过点(1,


2
2
)

(1)求椭圆C的方程.(2)已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点不在圆x2+y2=
5
9
内,求m的取值范围.
题型:怀柔区二模难度:| 查看答案
椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2),离心率e=


6
3
. 
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l与椭圆相交于不同的两点M,N且P(2,1)为MN中点,求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的右焦点为F(1,0),左、右顶点分别A、B,其中B点的坐标为(2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过F的直线交C于M、N,记△AMB、△ANB的面积分别为S1、S2,求
S1
S2
的取值范围.
题型:贵州模拟难度:| 查看答案
已知椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)经过点(
1
2


3
),一个焦点是F(0,-


3
).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2,点P在直线y=a2上,直线PA1、PA2分别与椭圆C交于M、N两点.试问:当点P在直线y=a2上运动时,直线MN是否恒经过定点Q?证明你的结论.
题型:丹东模拟难度:| 查看答案
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