题目

题型：不详难度：来源：

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E、F分别为C₁D₁、A₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE．

答案

（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面CDD₁C₁，DE⊂侧面CDD₁C₁，
∴DE⊥BC，（3分）
在△CDE中，CD=2a，CE=DE=

2

a，则有CD²=CE²+DE²，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥EC，（6分）
又BC∩EC=C
∴DE⊥平面BCE．（7分）
（Ⅱ）证明：连EF、A₁C₁，连AC交BD于O，
∵EF

∥ .

.

1

2

A1C1，AO

∥ .

.

1

2

A1C1，
∴四边形AOEF是平行四边形，（10分）
∴AF∥OE（11分）
又∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
∴AF∥平面BDE．（14分）