题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:BC⊥平面ACFE;
(2)求二面角A-BF-C的平面角的余弦值;
(3)若点M在线段EF上运动,设平MAB与平FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.
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答案
∴AB=2,AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3,
∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC,
∵平面ACFE⊥平面ABCD,
平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,
∴BC⊥平面ACFE.
(2)取FB中点G,连接AG,CG,
∵AF=
AC2+CF2 |
∵CF=CB=1,∴CG⊥FB,∴∠AGC=θ,
∵BC=CF,∴FB=
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
∴cosθ=
CG2+AG2-AC2 |
2CG•AG |
| ||
7 |
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(3)由(2)知:
①当M与F重合时,cosθ=
| ||
7 |
②当M与E重合时,过B作BN∥CF,且使BN=CF,
连接EN,FN,则平面MAB∩平面FCB,
∵BC⊥CF,AC⊥CF,∴CF⊥平面ABC,∴BN⊥平面ABC,
∴∠ABC=θ,∴θ=60°,∴cosθ=
1 |
2 |
③当M与E,F都不重合时,令FM=λ,0<λ<
3 |
延长AM交CF的延长线于N,连接BN,
∴N在平面MAB与平面FCB的交线上,
∵B在平面MAB与平面FCB的交线上,
∴平面MAB∩平面FCB=BN,
过C作CH⊥NB交NB于H,连接AH,
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由(1)知,AC⊥BC,
又∵AC⊥CN,∴AC⊥平面NCB,∴AC⊥NB,
又∵CH⊥NB,AC∩CH=C,∴NB⊥平面ACH,
∴AH⊥NB,∴∠AHC=θ,
在△NAC中,NC=
| ||
|
从而在△NCB中,CH=
| ||
(λ-
|
∵∠ACH=90°,∴AH=
AC2+CH2 |
| ||||||
|
∴cosθ=
CH |
AH |
1 | ||||
|
∵0<λ<
3 |
∴
| ||
7 |
1 |
2 |
综上所述,cosθ∈[
| ||
7 |
1 |
2 |
核心考点
试题【如图,在梯形ABCD中,AB∥C,AD=DC=CB=1,∠ABC═60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(1)求证:BC⊥平面AC】;主要考察你对线面垂直等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)证明:A1O⊥平面ABC;
(Ⅱ)求直线BC1与底面ABC所成角的正弦值.
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(Ⅰ)求证:面PAD⊥面PAB.
(Ⅱ)求二面角P-CD-A的大小.
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(1)求证:AE⊥BE;
(2)设M在线段AB上,且满足AM=3MB,线段CE上是否存在一点N,使得MN∥平面DAE?若存在,求出CN的长;若不存在,说明理由.
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A.SG⊥平面EFG | B.SD⊥平面EFG | C.GF⊥平面SEF | D.DG⊥平面SEF |
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