f（x）=ax3+bx2（a≠0，a，b∈R）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行。（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若已知a>b，求函数 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：模拟题难度：来源：

f（x）=ax³+

bx²（a≠0，a，b∈R）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行。
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若已知a>b，求函数f（x）在[b，a]上的最大值。

答案

解：（1）

由题意知

∴

整理得b=-2a
∴

当a>0时，由f"（x）＜0，得0＜x＜2，
∴f（x）的单调递减区间为（0，2）；
当a＜0时，由f"（x）＜0，得x＜0或x>2
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，0）和（2，+∞）。
（2）∵a>b且b=-2a，
∴a>0，b＜0

由f（x）=0得

①当0＜a≤3时，

②当a>3时，

综上所述：当0＜a≤3时，f （x）的最大值为0；当a>3时，f（x）的最大值为a⁴-3a³。

核心考点

试题【f（x）=ax3+bx2（a≠0，a，b∈R）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行。（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若已知a>b，求函数】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f(x)=

x³-2x²+cx+4，g(x)=e^x-e^2-x+f(x)，
(1)若f(x)在x=1+

处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；
(2)如下图所示，若函数y=f(x)的图象在[a，b]上连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈(a，b)使得f′(c)=？[用含有a，b，f(a)，f(b)的表达方式直接回答，不需要写猜想过程]
(3)利用(2)证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4。

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已知函数f（x）=2x³+3（1-2a）x²+6a（a-1）x（a∈R）。
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=0有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围；
（3）是否存在这样的常数a∈（-∞，

]使得直线y=1与y=f（x）相切，如果存在，求出a，否则请说明理由。

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已知函数f(x)=x³+bx²-3x(b∈(-∞，0])，且函数f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁、x₂，都有[f(x₁)-f(x₂)]≤c，求实数c的最小值；
(3)若过点M(2，m)(m≠2)，可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

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已知函数f(x)=x²-4x+(2-a)lnx(a∈R，a≠0)，
(1)当a=18时，求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[e，e²]上的最小值。

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已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax²+bx+c的图象如图，则f(x)的图象可能是

[ ]

A、

B、

C、

D、

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