题目
题型:模拟题难度:来源:
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1、x2,都有[f(x1)-f(x2)]≤c,求实数c的最小值;
(3)若过点M(2,m)(m≠2),可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
答案
因为函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
所以
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所以
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令
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所以函数ψ(x)是[1,+∞)上的单调减函数,
所以当
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故2b≥0,即b≥0,又因为b∈(-∞,0],所以b=0,
∴f(x)=x3-3x。
(2)由(1)可得,f′(x)=3x2-3,由f′(x)=3x2-3=0解得x=±1,
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∵f(-1)=2,f(1)=-2,
∴当x∈[-2,2]时,
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则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1,x2,都有
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所以c≥4,所以c的最小值为4。
(3)∵点M(2,m)(m≠2)不在曲线y=f(x)上,
∴设切点为(x0,y0),则
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∴切线的斜率为
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即
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因为过点M(2,m)(m≠2),可作曲线y=f(x)的三条切线,
所以方程
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即函数
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则g′(x)=6x2-12x,令g′(x)=0,解得x=0或x=2,
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由题意可得g(0)>0,且g(2)<0,
所以6+m>0,且m-2<0,解得:-6<m<2,
所以所求实数m的取值范围是-6<m<2。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3+bx2-3x(b∈(-∞,0]),且函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对于区间[-2,2]】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当a=18时,求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值。
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(1)当a=-1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若x∈(-∞,0]时f(x)≥0恒成立,求a的取值范围。
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(1)当a=1时,求函数的单调区间;
(2)当x∈[1,2]时,不等式f(x)>2恒成立,求a的取值范围。
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