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题目
题型:哈尔滨一模难度:来源:
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ex
( I)若函数φ(x)=f(x)-
x+1
x-1
,求函数φ(x)的单调区间;
(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x0,f (x0))处的切线.证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.
答案
(Ⅰ)φ(x)=f(x)-
x+1
x-1
=lnx-
x+1
x-1
φ′(x)=
1
x
+
2
(x-1)2
=
x2+1
x•(x-1)2
.(2分)
∵x>0且x≠1,∴φ"(x)>0
∴函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞).(4分)
(Ⅱ)证明:∵f′(x)=
1
x
,∴f′(x0)=
1
x0

∴切线l的方程为y-lnx0=
1
x0
(x-x0)

y=
1
x0
x+lnx0-1
,①(6分)
设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1ex1)
∵g"(x)=ex,∴ex1=
1
x0
,∴x1=-lnx0.(8分)
∴直线l也为y-
1
x0
=
1
x0
(x+lnx0)

y=
1
x0
x+
lnx0
x0
+
1
x0
,②(9分)
由①②得 lnx0-1=
lnx0
x0
+
1
x0

lnx0=
x0+1
x0-1
.(11分)
下证:在区间(1,+∞)上x0存在且唯一.
由(Ⅰ)可知,φ(x)=lnx-
x+1
x-1
在区间(1,+∞)上递增.
φ(e)=lne-
e+1
e-1
=
-2
e-1
<0
φ(e2)=lne2-
e2+1
e2-1
=
e2-3
e2-1
>0
,(13分)
结合零点存在性定理,说明方程φ(x)=0必在区间(e,e2)上有唯一的根,这个根就是所求的唯一x0
故结论成立.
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx,g(x)=ex.( I)若函数φ(x)=f(x)-x+1x-1,求函数φ(x)的单调区间;(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x0,f】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.
(1)若x=1时,函数f(x)取得极值,求函数f(x)的图象在x=-1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间(
1
2
,1)
内不单调,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知 f(x)=
x
ex
(e是自然对数的底数),
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)-k只有一个零点,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)求证
e(en-1)-n(e-1)
(e-1)2en
n
e
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx-
a(x-1)
x+1

(1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围;
(2)设m,n∈R,且m≠n,求证
m-n
lnm-lnn
m+n
2
题型:梅州一模难度:| 查看答案
函数y=2x-x3单调递增区间是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数g1(x)=lnx,g2(x)=
1
2
ax2+(1-a)x(a∈R且a≠0).
(1)设f(x)=g1(x)-g2(x),求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g1(x)的图象曲线C1与函数g2(x)的图象c2交于的不同两点A、B,过线段AB的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N.证明:C1在M处的切线与C2在N处的切线不平行.
题型:不详难度:| 查看答案
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