题目
题型:不详难度:来源:
1 |
2 |
(1)设f(x)=g1(x)-g2(x),求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g1(x)的图象曲线C1与函数g2(x)的图象c2交于的不同两点A、B,过线段AB的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N.证明:C1在M处的切线与C2在N处的切线不平行.
答案
1 |
2 |
∴函数f(x)的定义域是(0,+∞)…(1分)
由已知得f′(x)=
1 |
x |
a(x-1)(x+
| ||
x |
①当a>0时,令f′(x)>0,解得0<x<1; 令f′(x)<0,,解得x>1.
∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减…(3分)
②当a<0,时
①当-
1 |
a |
1 |
a |
令f′(x)<0,解得-
1 |
a |
∴函数f(x)在(0,-
1 |
a |
1 |
a |
②当-
1 |
a |
③当-
1 |
a |
1 |
a |
令f′(x)<0,解得1<x<-
1 |
a |
∴函数f(x)在(0,1)和(-
1 |
a |
1 |
a |
综上所述,(1)当a>0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
(2)当a<-1时,函数f(x)在(0,-
1 |
a |
1 |
a |
(3)当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(4)当-1<a<0时,函数f(x)在(0,1)和(-
1 |
a |
1 |
a |
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),且不妨设0<x1<x2,则
y1=lnx1=
1 |
2 |
y2=lnx2=
1 |
2 |
由①-②得:lnx1-lnx2=[
1 |
2 |
假设C1在M处的切线与C2在N处的切线平线,则有
2 |
x1+x2 |
1 |
2 |
代入(3)化简可得:
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
2 |
x1+x2 |
即ln
x2 |
x1 |
2(x2-x1) |
x2+x1 |
2(
| ||
|
设
x2 |
x1 |
2(t-1) |
t+1 |
4 |
t+1 |
即lnt+
4 |
t+1 |
令g(t)=lnt+
4 |
t+1 |
1 |
t |
4 |
(t+1)2 |
(t-1)2 |
t(t+1)2 |
∵t>1,显然g′(t)>0,
∴g(t)在(1,+∞)上递增,
显然有g(t)>2恒成立.
∴在(1,+∞)内不存在,使得lnt+
4 |
t+1 |
综上所述,假设不成立.
∴C1在M处的切线与C2在N处的切线不平线…(14分)
核心考点
试题【已知函数g1(x)=lnx,g2(x)=12ax2+(1-a)x(a∈R且a≠0).(1)设f(x)=g1(x)-g2(x),求函数f(x)的单调区间;(2)设】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
a |
3 |
a+1 |
2 |
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x∈[0,2]时,求函数f(x)的最大值与最小值.
1 |
2 |
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求出函数y=f(x)的单调区间.
(Ⅰ)求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设x0是函数f(x)的极值点,证明:f(x0)<0.
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