题目

题型：梅州一模难度：来源：

已知函数f(x)=lnx-

a(x-1)

x+1

．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；
（2）设m，n∈R，且m≠n，求证

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

．

答案

（1）f′（x）=

1

x

-

a(x+1)-a(x-1)

(x+1)2

=

(x+1)2-2ax

x(x+1)2

=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

，
因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
即x²+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
当x∈（0，+∞）时，由x²+（2-2a）x+1≥0，
得：2a-2≤x+

1

x

，
设g（x）=x+

1

x

，x∈（0，+∞），
则g（x）=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=

1

x

即x=1时，g（x）有最小值2，
所以2a-2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（-∞，2]；
（2）要证

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

，只需证

m n -1

ln m n

＜

m n +1

2

，
即ln

m

n

＞

2( m n -1)

m n +1

，即ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，
设h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，
由（1）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又

m

n

＞1，
所以h（

m

n

）＞h（1）=0，即ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0成立，
得到

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

．