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题目
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.
(1)若x=1时,函数f(x)取得极值,求函数f(x)的图象在x=-1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间(
1
2
,1)
内不单调,求实数a的取值范围.
答案
(1)f"(x)=3x2+2ax+1由f"(1)=0得a=-2
∴f(x)=x3-2x2+x+1
当x=-1时,y=-3即切点(-1,-3)
k=f"(x0)=3x02-4x0+1令x0=-1得k=8
∴切线方程为8x-y+5=0
(2f(x)在区间(
1
2
,1)
内不单调即f′(x)=0在(
1
2
,1)
有解
∴3x2+2ax+1=0在(
1
2
,1)
有解
2a=-3x-
1
x

令h(x)=-3x-
1
x

h′(x)=-3+
1
x2
<0

知h(x)在(


3
3
,1)
单调递减,在(
1
2


3
3
)
单调递增
h(1)<h(x)≤h(


3
3
)

即h(x)∈[-4,-2


3
]

-4<2a≤-2


3

-2<a≤-


3

而当a=-


3
时,f′(x)=3x2-2


3
x+1=(


3
x-1)2≥0

∴舍去
综上a∈(-2,-


3
)
核心考点
试题【设函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R.(1)若x=1时,函数f(x)取得极值,求函数f(x)的图象在x=-1处的切线方程;(2)若函数f(x)在区间(1】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知 f(x)=
x
ex
(e是自然对数的底数),
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)-k只有一个零点,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)求证
e(en-1)-n(e-1)
(e-1)2en
n
e
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx-
a(x-1)
x+1

(1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围;
(2)设m,n∈R,且m≠n,求证
m-n
lnm-lnn
m+n
2
题型:梅州一模难度:| 查看答案
函数y=2x-x3单调递增区间是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数g1(x)=lnx,g2(x)=
1
2
ax2+(1-a)x(a∈R且a≠0).
(1)设f(x)=g1(x)-g2(x),求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g1(x)的图象曲线C1与函数g2(x)的图象c2交于的不同两点A、B,过线段AB的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N.证明:C1在M处的切线与C2在N处的切线不平行.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-3x2+1,x∈[-1,3].
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
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