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题目
题型:不详难度:来源:
已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和.
(1)若S4,S10,S7成等差数列,证明a1,a7,a4也成等差数列;
(2)设S3=
3
2
S6=
21
16
,bn=λan-n2,若数列{bn}是单调递减数列,求实数λ的取值范围.
答案
(1)证明:设数列{an}的公比为q,
因为S4,S10,S7成等差数列,所以q≠1,且2S10=S4+S7
所以
2a1(1-q10)
1-q
=
a1(1-q4)
1-q
+
a1(1-q7)
1-q

因为1-q≠0,所以1+q3=2q6
所以a1+a1q3=2a1q6,即a1+a4=2a7
所以a1,a7,a4也成等差数列.
(2)因为S3=
3
2
S6=
21
16

所以
a1(1-q3)
1-q
=
3
2
,①
a1(1-q6)
1-q
=
21
16
,②
由②÷①,得1+q3=
7
8
,所以q=-
1
2
,代入①,得a1=2.
所以an=2•(-
1
2
)n-1

又因为bn=λan-n2,所以bn=2λ(-
1
2
)n-1-n2

由题意可知对任意n∈N*,数列{bn}单调递减,
所以bn+1<bn,即2λ(-
1
2
)n-(n+1)2
2λ(-
1
2
)n-1-n2

6λ(-
1
2
)n<2n+1
对任意n∈N*恒成立,
当n是奇数时,λ>-
(2n+1)2n
6
,当n=1时,-
(2n+1)2n
6
取得最大值-1,
所以λ>-1;
当n是偶数时,λ<
(2n+1)2n
6
,当n=2时,
(2n+1)2n
6
取得最小值
10
3

所以λ
10
3

综上可知,-1<λ<
10
3
,即实数λ的取值范围是(-1,
10
3
)
核心考点
试题【已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和.(1)若S4,S10,S7成等差数列,证明a1,a7,a4也成等差数列;(2)设S3=32,S6=2116,bn=】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在anan+1(n∈N*)之间插入n个1,构成如下的新数列:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,求这个数列的前2012项的和;
(3)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列(如:在a1与a2之间插入1个数构成第一个等差数列,其公差为d1;在a2与a3之间插入2个数构成第二个等差数列,其公差为d2,…以此类推),设第n个等差数列的和是An.是否存在一个关于n的多项式g(n),使得An=g(n)dn对任意n∈N*恒成立?若存在,求出这个多项式;若不存在,请说明理由.
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在如图的表格中,每格填上一个数字之后,使每一横行各数组成等差数列,每一纵列各数组成等比数列,则a+b+c的值为______.
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1 2 
0.5a1 
  b 
   c
已知数列{an}是等差数列,若a3+a11=24,a4=3,则{an}的公差是(  )
A.1B.3C.5D.6
设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a5+a6=8,a9+a10=24,则公差d=______,S10=______.
已知Sn是公差为d的等差数列{an} (n∈N*)的前n项和,且S6>S7>S5,则下列四个命题:①d<0;②S11>0;③S12<0;④S13>0中为真命题的序号为(  )
A.②③B.③④C.①②D.①④