题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动。设PQ交直线AC于点G。
（1）求直线AC的解析式；
（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形。直接写出所有满足条件的M点的坐标；
（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由。

答案

（1）；
（2）；
（3）一共四个点，(0，)，(0，0)，(0，)，（0，-2）；
（4）当0＜t＜2时，过G作GH⊥y轴，垂足为H。
由AP=t，可得AE=.
由可得GH=，所以GC=GH=
于是，GE=AC-AE-GC==。即GE的长度不变。
当2＜t≤4时，同理可证。
综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值。