题目

题型：模拟题难度：来源：

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线ｙ= ｘ与BC边相交于点D. 
（1）若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；
（2）若以点A为圆心的⊙A与直线OD相切，试求⊙A的半径；
（3）设（1）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与相似，若存在，试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由.

答案

（1）解 得D点的坐标为D（4，3）
抛物线经过D（4，3）、A（6，0），
可得；
（2）∵CD=4，OC=3，OD=.
sin∠CDO=，过A作AH⊥OD于H，
则AH=OAsin∠DOA=6×==3.6，
∴当直线OD与⊙A相切时，r=3.6；
（3）①设抛物线的对称轴与x轴交于点Q₁，则点Q₁符合条件.


∵对称轴，∴Q₁点的坐标为Q₁（3，0）.
②又过O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q₂，则点Q₂也符合条件.
∵对称轴平行于y轴，



∴CD= Q₁Q₂=4，∵Q₂位于第四象限，
∴Q₂（3，-4）.
因此，符合条件的点有两个，分别是Q₁（3，0），Q₂（3，-4）