题目

题型：四川省模拟题难度：来源：

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。
（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，探索并判断四边形CDAN是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；
（3）直线y=mx+2与抛物线交于T，Q两点，是否存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

答案

（1）由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为
又抛物线经过点N（2，3），所以， 解得a=-1
所以所求抛物线的解析式为y=
令y=0，得
解得：
得A（-1，0） B（3，0） ；
令x=0，得y=3，所以 C（0，3）. 
（2）四边形CDAN是平行四边形，理由如下：
直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k=1，t=3
直线解析式为y=x+3. 
令y=0，得x=-3，故D（-3，0） CD=
连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F.
过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n，
则解得m=1，n=1
所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1
所以DC∥AN.
在Rt△ANF中，AN=3，NF=3，
所以AN= ，所以DC=AN。
因此四边形CDAN是平行四边形. 
（3）假设存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点，
设 T（x₁，y₁） Q（x₂，y₂）
则由TO²+QO²=TQ² 得： x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²
化简得：x₁ x₂+ y₁ y₂ =0 ……①
又由y=-x²+2x+3 和y=mx+2
消去y得：x² +(m-2)x-1=0
此时△=（m-2）²+4﹥0 恒成立，
∴x₁ + x₂ =2-m ，x₁ x₂ =-1. ……②
于是 y₁ y₂ =（m x₁ +2）(m x₂ +2)
=m² x₁ x₂ +2m(x₁ + x₂)+4
=-3 m² +4m+4 ……③
将②③代入①得： -1-3 m² +4m+4=0 ，3 m²-4m-4=0
∴ m==
故存在实数m= 使以线段TQ为直径的圆过坐标原点