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导数的应用

导数的应用

  科学应用

  导数与物理,几何,代数关系密切:在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。导数亦名纪数、微商(微分中的概念),是由速度变化问题和曲线的切线问题(矢量速度的方向)而抽象出来的数学概念,又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了 600千米,它的平均速度是60千米/小时。但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔,设汽车所在位置s与时间t的关系为:

  那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是:

  当 t1与t0无限趋近于零时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,瞬时速度就近似等于平均速度 。自然就把当t1→t0时的极限  作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 (如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度)。

  微积分

  导数另一个定义:当x=x0时,f'(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(derivative function),简称导数).

  y=f(x)的导数有时也记作y':

  物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度(就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度二阶导数是加速度)、可以表示曲线在一点的斜率(矢量速度的方向)、还可以表示经济学中的边际和弹性。

  以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面(比如切向量场)的变化,导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络,人们就可以研究大范围的几何问题,这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。

  注意:1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件,不是充要条件。

  2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数,没有增减性,即没有极值点。但导数为零。(导数为零的点称之为驻点,如果驻点两侧的导数的符号相反,则该点为极值点,否则为一般的驻点,如y=x^3中f‘(0)=0,x=0的左右导数符号为正,该点为一般驻点。)

  求导方法① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)② 求平均变化率③ 取极限,得导数。

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