题目

题型：不详难度：来源：

设抛物线y=ax²+bx+c与X轴交于两不同的点A（-1，0），B（m，0），（点A在点B的左边），与y轴的交点为点C（0，-2），且∠ACB=90°．
（1）求m的值和该抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一点，且横坐标为1，点E为过A点的直线y=x+1与该抛物线的另一交点．在X轴上是否存在点P，使得以P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，矩形FGHQ的一边FG在线段AB上，顶点H、Q分别在线段AC、BC上，若设F点坐标为（t，0），矩形FGHQ的面积为S，当S取最大值时，连接FH并延长至点M，使HM=k•FH，若点M不在该抛物线上，求k的取值范围．

答案

（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²，
∴OB=

OC2

OA

=

22

1

=4，
∴m=4，
将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得

a= 1 2 b=- 3 2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）D（1，n）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2，得n=-3，
可得

x1=-1 y1=0

（不合题意舍去），

x2=6 y2=7

，
∴E（6，7）．
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°．
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0），
∴BF=DF=3，
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°．
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP₁∽△EAB，则

BP1

AB

=

BD

AE

，
∴BP₁=

AE•BD

AB

=

5×3 2

7 2

=

15

7

，
∴OP₁=4-

15

7

=

13

7

，
∴P₁（

13

7

，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，则

BP2

AE

=

BD

AB

，
∴BP₂=

AE•BD

AB

=

7 2 ×3 2

5

=

42

5

，
∴OP₂=

42

5

-4=

22

5

，
∴P₂（-

22

5

，0）．
综合①、②，得点P的坐标为：P₁（

13

7

，0）或P₂（-

22

5

，0）．

（3）∵HQ∥AB
∴△CHQ∽△CAB
∴HQ：AB=CR：CO，
即：设HG=x，则

HQ

5

=

2-x

2

解得：HQ=-

5

2

x+5
∴矩形的面积S=HG•HQ=-

5

2

x²+5x
当x=-

5

2×(- 5 2 )

=1时，面积取得最大值．则H，R，Q的纵坐标是-1．
则HQ=-

5

2

×1+5=

5

2

设直线AC的解析式是y=kx+b
根据题意得：

-k+b=0 b=-2

，解得：

k=-2 b=-2

则AC的解析式是：y=-2x-2
在解析式中，令x=-1，解得：y=0
则H的坐标是（-

1

2

，-1）．F的坐标是（2，0）．则HF=

29

2

．
设直线FH的解析式是y=kx+b
根据题意得：

- 1 2 k+b=-1 2k+b=0

解得：

k= 2 5 b=- 4 5

，
则直线FH的解析式是y=

2

5

x-

4

5

．
解方程组：

y= 2 5 x- 4 5 y= 1 2 x2- 3 2 x-2

，
解得：x=

19± 601

10

．
当直线与抛物线相交时，k=

HM

FH

=

- 1 2 - 19- 601 10

5 2

=

601 -24

25

或

19+ 601 10 + 1 2

5 2

=

601 +24

25

．
则k的范围是：k＞0且k≠

601 -24

25

且k≠

601 +24

25

．