线面垂直

如图： PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。
（1）求三棱锥E-PAD的体积；
（2）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（3）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。

如 图在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=PB，∠ABC=60° ，点D、E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？说明理由。

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）M为棱BB₁上的一点，当的值为多少时能使D₁M⊥平面EFB₁？试给出证明。

已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α⊥β；
其中正确的命题是

[     ]

A．②③
B．①③
C．①④
D．③④

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，且∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中点，MB⊥AC，
（1）求证：BM⊥平面ABC；
（2）求点M到平面BB₁C₁C的距离。

如图， 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4， AA₁=4，AB=5，点D是AB的中点。
（I）求证：AC⊥BC₁；
（II）求证：AC₁∥平面CDB₁。

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动。
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD₁的距离；
（3）当AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为。

如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点。
（I）求证：ED⊥AC；
（Ⅱ）若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值。

如图，正方形SG₁G₂G₃中，E，F分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形拆成一个四面体，使G₁，G₂，G₃三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有

[     ]

A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面

如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD。
（Ⅰ）证明：BC⊥侧面PAB；
（Ⅱ）证明：侧面PAD⊥侧面PAB；
（Ⅲ）求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小。

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形.已知AB=3，AD=2，PA=2， PD=，∠PAB=60°。  
（1）证明：AD⊥平面PAB；
（2）求二面角P-BD-A的大小。

如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC， DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点。
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求CM与平面CDE所成的角。

如图： PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。
（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积；
（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF。

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE。
（Ⅰ）求证：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值。

平面、、两两互相垂直，点A∈，点A到、的距离都是3，P是上的动点，P到的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到的距离的最小值为（    ）。

如图，四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面 ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。
（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE；
（3）求当BE的长为多少时，二面角P-DE-A的大小为45°。

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD。  
（1）求证：AB⊥平面PAD；
（2）求直线PC与底面ABCD所成角的大小；
（3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离。

已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，
m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是

[     ]

A.AB∥m
B.AC⊥m
C.AB∥β
D.AC⊥β

已知AA₁⊥平面ABC，AA₁=AB=BC=CA=3，P为A₁B上的点。
（1）当P为A₁B的中点时，求证：AB⊥PC ；
（2）当时，求二面角P-BC-A平面角的余弦值。

已知ABCD-A′B′C′D′为长方体，对角线AC′与平面A′BD相交于点Ｇ，则Ｇ是△A′BD的

[     ]

A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心

如图，在直四棱柱中，已知，。
（1）求证：；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使平面，并说明理由。

已知：如图，在正方体中，E是的中点，F是AC，BD 的交点。
（1）求证：A₁F⊥平面BED；
（2）求A₁F与B₁E所成角的余弦值。

在如图所示的空间几何体中，△ABC，△ACD都是等边三角形，AE=CE，DE//平面ABC，平面ACD⊥平面ABC。
（1）求证：DE⊥平面ACD；
（2）若AB=BE=2，求多面体ABCDE的体积。

如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N。
（1）求证：BC⊥面PAC；
（2）求证：PB⊥面AMN；
（3）若PA=AB=4，设∠BPC=，试用表示△AMN 的面积，当取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？

下列四个命题：
① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④ 垂直于同一个平面的两个平面相互平行；
其中错误的命题有

[     ]

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是

[     ]

A．若m∥α，n∥α，则m∥n 　
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β 　
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E为DB的中点。
（1）证明：AE⊥BC；　　
（2）若点F是线段BC上的动点，设面PFE与面PBE所成的平面角大小为，当在内取值时，求直线PF与平面DBC所成的角的范围。

设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列判断正确的是

[     ]

A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．若α⊥β，l∥β，则l⊥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=BC=SB=SC，O为BC的中点。
（1）求证：SO⊥面ABC；
（2）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。

如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，
给出下列结论：①BC⊥面PAC； ②AF⊥面PCB；③EF⊥PB； ④AE⊥面PBC。
其中正确命题的个数是
[     ]
A．1
B．2
C．3
D．4

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC=。
（Ⅰ）证明：SA⊥BC；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值。

如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F。
下列四个命题中：①BC⊥面PAC；②AF⊥面PBC；③EF⊥PB；④AE⊥面PBC。
其中正确命题的是（    ）。（请写出所有正确命题的序号）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。
（1）证明：DE⊥平面PBC；
（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

直线⊥平面，直线，则[      ]
A．⊥m
B．可能和m平行
C．和m相交
D．和m不相交

若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于[     ]
A．平面OAB
B．平面OAC
C．平面OBC
D．平面ABC

P是四边形ABCD所在平面外一点，ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。
（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面APD；
（2）求证：AD⊥PB。

如图，在RtΔAOB中，，斜边AB=4。RtΔAOC可以通过在RtΔAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上。
（1）求证：CO⊥平面AOB；
（2）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；
（3）求CD与平面AOB所成的角最大时的正切值。

如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B 两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是
[     ]
A．1
B．2
C．3
D．4

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形。已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°。
（Ⅰ）证明：AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角P-BD-A的余弦值。

如图，在正方形AS₁S₂S₃中，E、F分别是边S₁S₂、S₂S₃的中点，D是EF的中点，沿AE、EF、AF把这个正方形折成一个几何体，使三点 S₁、S₂、S₃重合于一点S，
下面有5个结论：①AS⊥平面SEF；②AD⊥平面SEF；③SF⊥平面AEF；④EF⊥平面SAD；
⑤SD⊥平面AEF；⑥AS⊥EF。
其中正确的是（    ）。（填上所有正确结论的序号）

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， AB=1，AC=AA₁=，∠ABC=60°。
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的大小。

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且 PD=a，PA=PC=a。
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-PB-D的平面角的大小。

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是

[     ]

A、若m∥α，n∥α，则m∥n
B、若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C、若m∥α，m∥β，则α∥β
D、若m⊥α，n⊥α，则m∥n

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2。将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示。
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求几何体A-BCD的体积。

a，b，c是三直线，α是平面，若c⊥a，c⊥b，，且（    ）（填上一个条件即可），则有c⊥α。

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B的中点。
（1）求证：AE⊥A₁C；
（2）求证：B₁C₁∥平面AC；
（3）求三棱锥A-A₁BC的体积。

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁。
（I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（III）求二面角A-A₁B-C的大小。

设有直线m、n和平面α、β。下列四个命题中，正确的是

[     ]

A.若m∥α ，n∥α ，则m∥n
B.若mα ，nα ，m∥β，n∥β，则α∥β
C.若α⊥β，mα ，则m⊥β
D.若α⊥β，m⊥β，mα ，则m∥α

在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α内任意一条直线m∥平面β，则平面α∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面β内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面α ；
④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面上的射影是该三角形的外心。
其中正确命题的个数为

[     ]

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′₁分别交BB₁，CC₁于P，Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A′₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
（Ⅰ）求证：AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底边AC上有一点M，AM：MC=3：4，求证：BM∥面APQ；
（Ⅲ）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值。