题目

题型：期中题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形。已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°。
（Ⅰ）证明：AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角P-BD-A的余弦值。

答案

（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设，可得，
于是AD⊥PA，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，
又PA∩AB=A，
所以，AD⊥平面PAB。
（Ⅱ）解：由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角，
在△PAB中，由余弦定理得
，
由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB平面PAB，
所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，
于是△PBC是直角三角形，
故，
所以，异面直线PC与AD所成的角的余弦值为。（Ⅲ）解：过点P做PH⊥AB于H，过点H做HE⊥BD于E，连结PE，
因为AD⊥平面PAB，PH平面PAB，
所以AD⊥PH，
又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，
故HE为PE在平面ABCD内的射影，
由三垂线定理可知， BD⊥PE，
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角。
由题设，可得

于是在Rt△PHE中，，所以二面角P-BD-A的余弦值为。