题目

题型：0103 期末题难度：来源：

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁。
（I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（III）求二面角A-A₁B-C的大小。

答案

（1）证明：因为A₁D⊥平面ABC，
所以，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，
所以，BC⊥平面AA₁C₁C，得BC⊥AC₁，
又BA₁⊥AC₁，
所以，AC₁⊥平面A₁BC。（2）解：因为AC₁⊥A₁C，所以四边形AA₁C₁C为菱形，故AA₁=AC=2，
又D为AC中点，知∠A1AC=60°，
取AA₁的中点F，则AA₁⊥平面BCF，
从而，平面A₁AB⊥平面BCF，
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A₁AB，
在Rt△BCF，BC=2，CF=，故，
即CC₁到平面A₁AB的距离为。
（3）过H作HG⊥A₁B于G，连CG，则CG⊥A₁B，
从而∠CGH为二面角A-A₁B-C的平面角，
在Rt△A₁BC中，A₁C=BC=2，所以，CG=，
在Rt△CGH中，，
故二面角A-A₁B-C的大小为。