题目

题型：0111 期中题难度：来源：

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC=。
（Ⅰ）证明：SA⊥BC；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值。

答案

（1）证明：取BC中点O，连接SO、AO，
∵SB=SC，
∴SO⊥BC，
∴△ABC中，∠B=45°，BO=，AB=2，
∴AO=，∠AOB=90°，即BC⊥OA，
∴BC⊥平面SOA，
∴BC⊥SA。
（2）解：∵侧面SBC⊥底面ABCD，SO⊥BC，
∴SO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系Oxyz，
则，，
平面ABCD的一个法向量为，
设直线SD与平面SBC所成角，
∴，
∴直线SD与平面SBC所成角的正弦值为。