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三角形角平分线
定义
三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交,连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。(也叫三角形的内角平分线。)
由定义可知,三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角,所以三角形有三条角平分线。
且任意三角形的角平分线都在三角形内部。
三角形三条角平分线交三角形内部于一点,这个点我们称之为内心。
相关试题
如图,在△ABC 中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形? 并证明你的结论.根据图形推理列式:如下图,已知AO⊥OB,CO⊥OD,OE平分∠COB,设∠COE=x度,那么用x的代数式表示: ①∠COB= 度,②∠AOC= 度,③∠AOD= 度(要求化简)。 自点O顺时针做四条射线OA、OB、OC、OD,已知∠AOB=90°,∠AOD和∠BOC的角平分线分别是OM和ON,且∠MON=150°,求∠COD的度数。 如图,∠A+∠ACD=180°,CE平分∠ACD,∠A=110°,则∠ECD的度数是( )。 (1)如图a,①已知AB∥CD,∠ABC=60。,根据( ),可得∠BCD=( ); ②在①的条件下,如果CM平分∠BCD,则∠BCM=( );③在①、②的条件下,如果CN⊥CM,则∠BCN=( );
(2)如图b,已知AB∥CD,∠B=40。,CN是∠BCE的平分线,CN⊥CM,求∠BCM=( )。请完成下面的说明:
(1)如图①所示,△ABC的外角平分线交于G,试说明∠BGC=90°-∠A。
说明:根据三角形内角和等于180°,可知∠ABC+∠ACB=180°-∠_____。
根据平角是180°,可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°,
所以∠EBC+∠FCB=360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-(180°-∠_____)=180°+∠______。
根据角平分线的意义,可知∠2+∠3=(∠EBC+∠FCB)=(180°+∠_____)=90°+∠_______。
所以∠BGC=180°-(∠2+∠3)=90°-∠____。(2)如图②所示,若△ABC的内角平分线交于点I,试说明∠BIC=90°+∠A。
(3)用(1),(2)的结论,你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗?如图所示,OE,OD分别平分∠AOC和∠BOC,
(1)如果∠AOB=90°,∠BOC=40°,求∠DOE的度数;
(2)如果∠AOB=α,∠BOC=β(α、β均为锐角,α>β),其他条件不变,求∠DOE ;
(3)从 (1)、(2)的结果中,你发现了什么规律?填空,完成下列说理过程
如图,DP平分∠ADC交AB于点P,∠DPC=90°,如果∠1+∠3=90°, 那么∠2和∠4相等吗?说明理由。解:因为DP平分∠ADC,
根据( ),
所以∠3=∠( )
因为∠APB=( ),且∠DPC=90°,
所以∠1+∠2=90°
又因为∠1+∠3=90°,
根据( ),
所以∠2=∠3
所以∠2=∠4已知∠AOB=80°,OC是∠AOB的平分线,OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC,
(1)求∠DOE的度数;
(2)当OC在∠AOB内绕O点旋转时,OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线,问此时∠DOE的大小是否和(1)中的答案相同?通过此过程,你能总结出怎样的结论?如图,OD是∠AOC的平分线,OE是∠BOC的平分线。
(1)如果∠AOC=48° ,∠BOC=42° ,求∠DOE的度数。
(2)如图∠AOB的大小不变,与(1)相同,而射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转,∠DOE的大小是否发生变化?若不变,请求出其度数。
(3)如果∠AOB的大小仍不变,而射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转(∠AOC不大于90° ),OD是
∠AOC的平分线,OE是∠BOC的平分线,请画出相应的图形,此时∠DOE的大小是否发生变化?并说明理由。如图①在正方形网格中有四边形ABCD.
(1)利用网格作∠A、∠B的平分线;
(2)∠A、∠B的平分线交于点O,判断点O是否在其他两个角的平分线上;
(3)从图中你还能发现什么结论?
(4)如图②,在四边形ABCD中四个内角平分线仍相交于一点O,在上面这些结论中,哪些是必然事件,哪些是随机事件?试说明理由。完成下列证明过程: 已知:如图,AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,∠1=∠3,求证 :AD平分∠BAC。 证明:∵AD⊥BC 于D EF⊥BC于F (已知)
∴ ( )
∴AD∥EF( )
∴∠1=∠E( ) ∠2=∠3( )
又∵∠3=∠1(已知)
∴∠1=∠2( )
∴AD平分∠BAC( )如图,已知∠MON=90°,点A、B分别在射线OM、ON上移动,∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C,试猜想随着A、B点的移动,∠ACB的大小是否变化?证明你的结论。 如图所示,OB、OC是∠AOD的任意两条射线,OM平分∠AOB,ON平分∠COD。若∠MON=α ,∠BOC=β,则表示∠AOD的代数式是 [ ] A.2α-β
B.α-β
C.α+β
D.以上都不正确如果∠AOB+∠BOC=180°,则∠AOB与∠BOC的平分线相交成( )。 已知如图,∠XOY=90。 ,点A、B分别在射线OX、OY上移动,BE平分∠ABY,BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C,试问∠ACB的大小是否发生变化,如果不变,请给出说明。如果随点A、B移动发生变化,请求出变化的范围。 如图,已知直线AB、CD相交于点O,OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线,设∠AOC=30°,求∠EOF. 解:∵∠AOC+∠BOC=∠BOC+∠BOD
∴∠BOD=∠_____=______度
∵∠BOC=∠_____=______度
∵OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线,
∴∠EOC=∠AOC,∠BOF=_______.
∴∠EOC+∠BOF+∠BOC=(______+______)+∠BOC
=∠AOC+∠BOC=180°,即∠EOF=180°.
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