题目

题型：吉林省模拟题难度：来源：

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁所有棱长都等于2，∠ABC和∠A₁AC均为60°，平面AA₁C₁⊥平面ABCD．
(Ⅰ)求证：BD⊥AA₁；
(Ⅱ)求二面角D-AA₁-C的余弦值；
(Ⅲ)在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.

答案

解：设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连接A₁O，
在中，，
∴，
∴，∴，
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，A₁O⊥平面ABCD，
以OB，OC，OA，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
 (Ⅰ)由于，
，
∴。
(Ⅱ)由于OB⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C的一个法向量为，
设平面AA₁D，则，
设，则，
取，
∴，
所以二面角D-AA₁-C的平面角的余弦值为。
(Ⅲ)假设在直线CC₁上存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，
设，则，
从而有，
设平面DA₁C₁，则，
又，
设，，取，
因为BP∥平面DA₁C₁，则，
即，得λ=-1，
即点P在C₁C的延长线上，且C₁C=CP。