题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动。
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）是否存在点E使得面D₁DE⊥面D₁EC？若存在，请求出此时点E到面ACD₁的距离；若不存在，请说明理由；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为？

答案

解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AE =x，
则 D（0，0，0），A（1，0，1），D（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）
（1）因为
所以
即D₁E⊥A₁D。
（2）设平面D₁EC的一个法向量为n₁=（a，b，c）

则
令b=1，则c=2，a=2-x，n₁=（2-x，1，2），
再设平面D₁DE的一个法向量为

则
令n=1，则m=-x，n₂=（-x，1，0）
由面D₁DE⊥面D₁ECn₁·n₂=（2-x，1，2）·（-x，1，0）=0得x²-2x+1=0
故x=1
故E为AB的中点时，有面D₁DE⊥面D₁EC
由于此时点E为AB的中点，故E（1，1，0），

设平面ACD₁的一个法向量n₃=（x，y，z），则

令x=2，则y=1，z=2，即n₃=（2，1，2），
故点E到面ACD₁的距离为。
（3）由上述解答过程可知面D₁EC的法向量为n=（2-x，1，2）
由题意，
故（不合题意，舍去）
∴当时，二面角D₁-EC-D的大小为。