题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，且，M是AB的中点，

（1）求证：平面ABC；
（2）求点M到平面AA₁C₁C的距离.

答案

（1）见解析；
（2）

解析

(1)因为，只需证即可.然后证为正三角形.
（2）在（1）的基础上，取AC的中点N，连接A₁N，则易证：,
所以,再过M作，垂直为Q,则MQ为点M到平面AA₁C₁C的距离.
（Ⅰ）∵侧面是菱形，
且，∴为正三角形.
又∵点为的中点，∴,
由已知，∴平面.（4分）
（Ⅱ）作于, 连接,作于，

由已知, 又∵，∴面,
由面, 得,
∵，且, ，∴面,
于是即为所求，                                            （8分）
∵菱形边长为2，易得, , ，
∴.                                           （12分）