题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分）如图,在三棱柱中,侧面底面,,,且为中点.

(I)证明:平面;
(II)求直线与平面所成角的正弦值;
(III)在上是否存在一点,使得平面,若不存在,说明理由;若存在,确定点的位置.

答案

(I)证明见解析
(II)
(III) 存在这样的点E,E为的中点

解析

(1)因为侧面底面,所以只需证明即可.
（2）可以以O为原点，ＯＮ，ＯＣ，ＯＡ_１所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，然后用向量的方法求解线面角的问题.
（3）在（2）的基础上也可以用向量来求点E位置.也可以取BC的中点M，连接OM，取BC₁的中点E，连接ME，则OM//AB，ME//BB₁//AA₁，所以平面OMB//平面AA₁B，所以OE//平面.从而确定E为BC₁的中点.
(Ⅰ)证明:因为,且O为AC的中点,
所以 
又由题意可知,平面平面,交线为,且平面,
所以平面 
(Ⅱ)如图,以O为原点,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

由题意可知,又 
所以得: 
则有: 
设平面的一个法向量为,则有
,令,得 
所以 
 
因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余,所以 
(Ⅲ)设 
即,得 
所以得 
令平面,得 , 
即得 
即存在这样的点E,E为的中点