题目

题型：不详难度：来源：

给出下列命题：
（1）函数f（x）=tanx有无数个零点；
（2）若关于x的方程（(

1

2

)|x|-m=0有解，则实数m的取值范围是（0，1]；
（3）把函数f（x）=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移

π

6

个单位后，得到的函数解析式可以表示成f（x）=2sin2（x+

π

6

）；
（4）函数f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[-1，1]；
（5）已知函数f（x）=2cosx，若存在实数x₁，x₂，使得对任意的实数x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为2π．
其中正确的命题有______个．

答案

（1）由y=tanx=0可得x=kπ（k∈Z），故函数f（x）=tanx有无数个零点，正确；
（2）∵(

1

2

)|x|-m=0有解⇔曲线y=(

1

2

)|x|与y=m有公共点，
∵指数型函数y=(

1

2

)|x|的值域为（0，1]，
∴实数m的取值范围是（0，1]，正确；
（3）∵f（x）=2sin2x，
∴把函数f（x）=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移

π

6

个单位后，得f（x+

π

6

）=2sin2（x+

π

6

），故（3）正确；
（4）∵f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[0，1]，故（4）错误；
（5）不妨令x₁=π，x₂=0，满足对任意的实数x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，故|x₁-x₂|的最小值为π，
∴（5）错误．
综上所述，正确的命题有3个．
故答案为：3．