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题目
题型:不详难度:来源:
已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为______.
答案
如图所示,可知A(-


a
,a)
,B(


a
,a)

设C(m,m2),


AC
=(m+


a
m2-a)


BC
=(m-


a
m2-a)

∵该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,


AC


BC
=(m+


a
)(m-


a
)+(m2-a)2=0

化为m2-a+(m2-a)2=0.
∵m


a
,∴m2=a-1≥0,解得a≥1.
∴a的取值范围为[1,+∞).
故答案为[1,+∞).
核心考点
试题【已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为______.】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


2
2
,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M,N两点,△FMN面积的最大值为1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设P,A,B是椭圆E上异于顶点的三点,Q(m,n)是单位圆x2+y2=1上任一点,使


OP
=m


OA
+n


OB

①求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;
②求OA2+OB2的值.
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椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为


3
2
,长轴端点与短轴端点间的距离为


5

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于两点E,F,O为坐标原点,若OE⊥OF,求直线l的斜率.
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已知两条抛物线y1=x2+2mx+4,y2=x2+mx-m中至少有一条与x轴有公共点,则实数m的取值范围是______.
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已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆焦距为2,离心率为
1
2

(1)求椭圆的标准方程
(2)若直线l过点(1,2)且倾斜角为45°且与椭圆相交于A,B两点,求弦长|AB|.
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如图,已知圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=
20
3
,椭圆C2的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),C2的离心率为


2
2
,如果C1与C2相交于A、B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,求直线AB的方程和椭圆C2的方程.
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