题目

题型：不详难度：来源：

已知，点满足，记点的轨迹为.
（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）若直线过点且与轨迹交于、两点. （i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记
，求的取值范围.

答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…………3分
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，
∴，   解得 ……………5分
（i）∵   
……………………7分
假设存在实数，使得，
故得对任意的恒成立，
∴，解得   ∴当时，.
当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立，
综上，存在，使得. …………………………………………8分
（ii）∵，∴直线是双曲线的右准线，…………………………9分
由双曲线定义得：，，
方法一：∴
 …………………………………………10分
∵，∴，∴………………………………………11分
注意到直线的斜率不存在时，，综上， …………………12分
   方法二：设直线的倾斜角为，由于直线与双曲线右支有二个交点，∴，过
作，垂足为，则，          
∴ …（10分）
由，得 故： …（12分）