题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．

答案

（1）
（2）存在，使得以CD为直径的圆过点E

解析

（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．
依题意　解得　
∴　椭圆方程为　．　　
（2）假若存在这样的k值，由得．
　∴   ．　　　　　　　　　　①
　设，、，，则　　　　　　　　　②　　
而．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，
则，即．
　　∴　．　　　　　　　③
　　将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．
　　综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．