题目

题型：不详难度：来源：

设椭圆C:(a〉b>0)的左焦点为，椭圆过点P（）
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点D(l,0),直线l:与椭圆C交于A、B两点，以DA和DB为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围.

答案

解 （1）由题意知，b2 = a2－3，由得 2a4－11a2 + 12 = 0，
所以（a²－4）（2a²－3）= 0，得 a² = 4或（舍去），
因此椭圆C的方程为．                     ……………… 4分
（2）由 得 ．
所以4k² + 1＞0，，
得 4k² + 1＞m²．               ①                      ……………… 6分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），
则，，
于是 ，，．
设菱形一条对角线的方程为，则有 x =－ky + 1．
将点M的坐标代入，得 ，所以．    ②
将②代入①，得，
所以9k²＞4k² + 1，解得 k∈． ……………… 12分
法2：
则由菱形对角线互相垂直，即直线l与垂直，由斜率的负倒数关系可整理得，即－3km = 4k² + 1，即， 代入①即得．
法3： 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），
则，，于是，两式相减可得 ，
即 x₀ + 4ky₀ = 0．     ①              
因为 QD⊥AB，所以 ．        ②
由①②可解得 ，，表明点M的轨迹为线段（）．
当，k∈（，+∞）；当，k∈（－∞,）．
综上，k的取值范围是k∈．

解析

略