设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. (Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由. |
(Ⅰ)解法一:依题意,可设直线AB的方程为y=k(x-1)+3, 代入3x2+y2=λ,整理得:(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0① 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根, ∴△=4[λ(k2+3)-3(k-3)2]>0,② 且x1+x2=.由N(1,3)是线段AB的中点,得x1+x2=2, ∴k(k-3)=k2+3解得k=-1,代入②得λ>12, 即λ的取值范围是(12,+∞). 于是直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则有⇒3 (x1-x2) (x1+x2)+(y1-y2)=0. 依题意,x1≠x2,∴kAB=-. ∵N(1,3)是AB的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=6,从而kAB=-1. 又由N(1,3)在椭圆内,∴λ>3×12+32=12, ∴λ的取值范围是(12,+∞). 直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0. (Ⅱ)解法一:∵CD垂直平分AB, ∴直线CD的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0代入椭圆方程,整理得4x2+4x+4-λ=0.③ 又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为M(x0,y0), 则x3,x4是方程③的两根, ∴x3+x4=-1,且x0==-,y0=x0+2=,即M(-,) 于是由弦长公式可得|CD|=•|x3-x4|=.④ 将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程得4x2-8x+16-λ=0.⑤ 同理可得|AB|=•|x1-x2|=.⑥ ∵当λ>12时,>, ∴|AB|<|CD|. 假设存在λ>12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心. 点M到直线AB的距离为d===.⑦ 于是,由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+||2=+==||2. 故当λ>12时,A、B、C、D四点均在以M为圆心,||为半径的圆上. (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得: A、B、C、D共圆⇔ACD为直角三角形,A为直角⇔|AN|2=|CN|•|DN|, 即()2=(||+d)(||-d).⑧ 由⑥式知,⑧式左边=, 由④⑦知,⑧式右边=(+)(-)=-=. ∴⑧式成立,即A、B、C、D四点共圆.) 解法二:由(Ⅱ)解法一知λ>12, ∵CD垂直平分AB, ∴直线CD的方程为y-3=x-1,代入椭圆方程,整理得4x2+4x+4-λ=0.③ 将直线AB的方程x+y-4=0代入椭圆方程整理得4x2-8x+16-λ=0.⑤ 解③和⑤式可得x1,2=,x3,4=, 不妨设A(1+,3-), C(,),D(,). ∴=(,), =(,), 计算可得•=0, ∴A在以CD为直径的圆上. 又B为A关于CD的对称点, ∴A、B、C、D四点共圆. |
核心考点
试题【设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程;】;主要考察你对
椭圆等知识点的理解。
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举一反三