题目

题型：0108 模拟题难度：来源：

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴交于定点Q；
（3）在（2）条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围。

答案

解：（1）由题意知
所以
即
又因为
所以
故椭圆C的方程为。
（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为

由
得 ①
设点
则
直线AE的方程为
令，得
将代入
整理得 ②
由①得代入②整理得
x=1
所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）。
（3）当过点Q的直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为
且在椭圆C上
由得 ①
易知
所以
则，
因为
所以
所以，
当过点Q的直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1
解得
此时；
所以的取值范围是。