题目

题型：江苏期末题难度：来源：

已知P为曲线E上的任意一点，F₁（﹣1，0），F₂（1，0），且|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．
（1）求曲线E的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△F₂F₁P的面积．

答案

解：（1）∵F₁（﹣1，0），F₂（1，0），
∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4．
因此，曲线E表示以F₁、F₂为焦点，长轴2a=4的椭圆，c=1，b²=a²﹣c²=3
∴曲线E的方程为
（2）∵△F₂F₁P中，∠F₂F₁P=120°，F₁F₂=2
∴根据余弦定理，得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²﹣2|PF₁||PF₂|cos120°=4，
化简得|PF₁|²+|PF₂|²+|PF₁||PF₂|=4…①
又∵|PF₁|+|PF₂|=4，可得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁||PF₂|=16…②
∴②减①，得|PF₁||PF₂|=12
根据正弦定理，可得△F₂F₁P的面积S=|PF₁||PF₂|sin120°=3．