题目

题型：江苏期中题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，上下顶点分别为A，B，直线BF交椭圆于C点，且．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若P点是椭圆上弧AC上动点，四边形APCB面积的最小值为，求椭圆的方程．

答案

解：（1）设点F（c，0），B（0，﹣b），C（x，y）
由=3，得：（c，b）=3（x﹣c，y）
解得：C（c，）
代入椭圆方程得：+=1，
∴e==，a²=2c²，b=c；
（2）由（1）椭圆方程可写为+=1，点C（b，），
直线AC：x+2y﹣2b=0，
，AC=b，
设点P（x，y）：x²+2y²=2b²，
点P到直线AC距离为d=，
（x+2y）²=x²+4y²+4xy≤x²+4y²+2（x²+y²）=3（x²+2y²）=6b²，
∴d_max=b，
∴由S_max==知
b²=1，
椭圆方程为：x²+2y²=2