题目

题型：不详难度：来源：

已知点P（2，0）及圆C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；
（Ⅱ）设过P直线l₁与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；
（Ⅲ）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y-0=k（x-2）．
又圆C的圆心为（3，-2），半径r=3，
由

|3k+2-2k|

k2+1

=1，解得k=-

3

4

．
所以直线方程为y=-

3

4

(x-2)，即3x+4y-6=0；
当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；
（Ⅱ）由于|CP|=

5

，而弦心距d=

r2-( |MN| 2 )2

=

5

，
所以d=|CP|=

5

，所以P为MN的中点，
所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为

1

2

|MN|=2，
故以MN为直径的圆Q的方程为（x-2）²+y²=4；
（Ⅲ）把直线ax-y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直线ax-y+1=0交圆C于A，B两点，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，即-2a＞0，解得a＜0．
则实数a的取值范围是（-∞，0）．
设符合条件的实数a存在，
由于l₂垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在l₂上．
所以l₂的斜率k_PC=-2，
而kAB=a=-

1

kPC

，
所以a=

1

2

．
由于

1

2

∉(-∞，0)，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB．