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题目
题型:嘉兴一模难度:来源:
如图,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,则棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点.
(Ⅰ)求证:BD1平面C1DE;
(Ⅱ)求二面角C1-DE-C的大小;
(Ⅲ)在侧棱BB1上是否存在点P,使得CP⊥平面C1DE?证明你的结论.魔方格
答案

魔方格
(I)证明:连接CD1,与C1D相交于O,连接EO.
∵CDD1C1是矩形,
∴O是CD1的中点,
又E是BC的中点,
∴EOBD1.(2分)
又BD1⊄平面C1DE,EO⊂平面C1DE,
∴BD1平面C1DE.(4分)

(II)过点C作CH⊥DE于H,连接C1H.
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD,
∴C1H⊥DE,
∠C1HC是二面角C1-DE-C的平面角.(7分)
根据平面几何知识,易得H(0.8,1.6,0)
.∴


HC
=(-0.8,0.4,0),


HC1
=(-0.8,0.4,3)

cosC1HC=COS<


HC


HC1
>=


HC


HC1
|


HC
|•|


HC1
|
=
2
7
(9分)
C1HC=arccos
2
7

∴二面角C1-DE-C的大小为ArCCOs
2
7
.(10分)

(III)在侧棱BB1上不存在点P,使得CP⊥平面C1DE(11分)
证明如下:
假设CP⊥平面C1DE,则必有CP⊥DE.
设P(2,2,a),其中0≤a≤3,


CP
=(2,0,a),


DE
=(1,2,0)



CP


DE
=2≠0
,这显然与CP⊥DE矛盾.
∴假设CP⊥平面C1DE不成立,
即在侧棱BB1上不存在点P,使得CP⊥平面C1DE.(14分)
核心考点
试题【如图,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,则棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点.(Ⅰ)求证:BD1∥平面C1DE;(Ⅱ)求二面角C1-DE-C的大小;(】;主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心,二面角 H-AB-C 的平面角等于30°,SA=2.那么三棱锥 S-ABC 的体积为______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=


3

(I)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求二面角A-BE-P的大小.魔方格
题型:枣庄一模难度:| 查看答案
若地球半径为R,在北纬45°圈上有A、B两点,且这两点间的球面距离为
π
3
R
,则北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为(  )
A.


3
2
B.


3
3
C.


3
4
D.
2


3
5
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是正方形,PA⊥面ABCD,点M是CD的中点,点N是PB的中点,连接AM,AN,MN.
(1)求证:MN面PAD;
(2)若MN=5,AD=3,求二面角N-AM-B的余弦值.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=PA=
1
a
BC(a>0)

(Ⅰ)当a=1时,求证:BD⊥PC;
(Ⅱ)若BC边上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD,求此时二面角A-PD-Q的余弦值.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
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