题目

题型：不详难度：来源：

已知三棱锥 S-ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心，二面角 H-AB-C 的平面角等于30°，SA=2．那么三棱锥 S-ABC 的体积为______．

答案

由题设，AH⊥面SBC，作BH⊥SC于E．
由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB，所以SC⊥面ABE．
设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．
由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．
同理，BO⊥AC，故O为△ABC的垂心．
又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=2

3

．
因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB． 
所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，故∠EFC=30°，
∴OC=SCcos60°=2

3

×

1

2

=

3

，
∴SO=

3

tan60°=

3

×

3

=3．
又OC=

3

3

AB，故AB=

3

OC=

3

×

3

=3．
所以，V_S-ABC=

1

3

×

3

4

×32×3=

9 3

4

．