题目

题型：0127 模拟题难度：来源：

在三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点。
（1）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（2）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（3）求二面角D-A₁C-A的余弦值。

答案

解：（1）证明：因为侧面，均为正方形，
所以
所以平面，三棱柱是直三棱柱
因为平面，
所以，　　　　　　　　
又因为，D为中点，
所以
因为
所以平面。 （2）证明：连结，交于点O，连结，
因为为正方形，
所以O为中点，
又D为中点，
所以OD为中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面。
（3）因为侧面，均为正方形，，
所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系
设，则
设平面的法向量为，则有
，，
取得
又因为平面
所以平面的法向量为

因为二面角是钝角，
所以，二面角的余弦值为。