题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC=45°，直角梯形ABCD与矩形ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设DC=1。
（1）求证：AQ⊥DQ；
（2）求线段AD的最小值，并指出此时点Q的位置；
（3）当AD长度最小时，求直线BD与平面PDQ所成的角的正弦值。

答案

解：（1）∵平面ABCD⊥平面ADP，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，
由已知PQ⊥DQ，
∴AQ⊥DQ。
（2）设CQ=x，AD=y
由（1）得AQ⊥DQ
在Rt△AQD中，
∴
当且仅当x=1时取等号
所以AD最小值为2，此时CQ=1。
（3）易得DQ⊥平面PAQ，则平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交线，连接BD交AQ于E，过点E作EF⊥PQ于F，连接FD，则EF⊥平面PDQ
∴∠EDF就是BD与平面PDQ所成的角
由已知得，PQ=2
∴△PAQ为等腰直角三角形，
则可得
∴。