某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：河南省模拟题难度：来源：

某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

答案

解：（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx²，
若记商品在一个星期的获利为f（x），
则依题意有f（x）=（30﹣x﹣9）（432+kx²）=（21﹣x）（432+kx²），
又由已知条件，24=k

2²，于是有k=6，
所以f（x）=﹣6x³+126x²﹣432x+9072，x∈[0，30]．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有f "（x）=﹣18x²+252x﹣432=﹣18（x﹣2）（x﹣12）．

∴当x=12时，f（x）达到极大值．
因为f（0）=9072，f（12）=11264，
所以定价为30﹣12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．

核心考点

试题【某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=﹣x²+ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）在

上的最大值；
（2）当函数f（x）在

单调时，求a的取值范围．

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已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m﹣2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设

，若g（x）＞0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．

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设函数

．
（1）若a=0，求f（x）在（0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．
（2）若f（x）在区间[1，2]上为减函数，求a的取值范围．
（3）若直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线，求a的值．

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据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k（k＞0）．现已知相距18km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC=x（km）．
（1）试将y表示为x的函数；
（2）若a=1，且x=6时，y取得最小值，试求b的值．

题型：湖南省模拟题难度：| 查看答案

已知定义在正实数集上的函数f（x）=

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．
设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极值

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